Paso 5: Estudio de la Continuidad.-

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen el punto coincida con el límite de la función en el punto.

Tipos de discontinuidad

1. Discontinuidad evitable

Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe .

Tipos

1. La función no está definida en x = a.

2. La imagen no coincide con el límite.

2. Discontinuidad inevitable

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos.

Tipos

1. Discontinuidad inevitable de salto finito

La diferencia entre los límites laterales es un número real.

2. Discontinuidad inevitable de salto infinito

La diferencia entre los límites laterales es infinito.

3. Discontinuidad esencial

Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a.

Paso 4: Simetría o Paridad.-

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si es una función par, es decir:  f(−x) = f(x)

 Ejemplo

Una función f es simétrica respecto al origen si es una función impar, es decir:

f(−x) = −f(x)

Ejemplo 

Paso 3: Clasificación de las Funciones.-

Paso 2: Intersección con los Ejes Coordenados.-

    Ceros o Raíces: (Intersección con el Eje X):

Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0 y resolvemos la ecuación resultante.

Corte de Ordenada: (Intersección con el Eje Y):

Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).

 Ejemplo:

Hallar los puntos de corte con los ejes de la función:

Paso 1: Dominio y Recorrido de f(x)

Dominio de una función: Es un subconjunto del conjunto de partida,
conformado por las primeras componentes de los pares ordenados que
satisfacen una relación.
Por ejemplo:
Sean:
 A={1;2;3;4;5}
 B={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}
f :A B f={(x,y)/y=x+2}
los pares ordenados que satisfacen dicha relación son :
f={(1;3),(2;4),(3;5),(4;6),(5;7)}
Df={1;2;3;4;5}

Recorrido de una función: es un subconjunto del conjunto de llagada conformado
por las segundas componentes de los pares ordenados que integran la relación.
Por ejemplo:
A {1; 2; 3; 4; 5} Conjunto de partida
B {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Conjunto te llegada
 Estableciendo la relación “f”:
 f: A ----> B f:{(x; y)/y = x + 2}

•  Los pares ordenados que satisfacen la relación son: 

f: { (1;3), (2;4), (3;5), (4;6), (5;7)}

•  El Recorrido de la Relacion es: 

Rf:{3; 4; 5; 6; 7}

•  Para encontrar el recorrido de una función, primero debemos encontrar la función inversa de esta recordando que:

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f⁻¹) (x) = (f⁻¹ o f) (x) = x

Pasos a seguir para el Análisis completo y representación de una Función :

1. Hallar el Dominio y el Recorrido de la función.

2. Intersección con los ejes (Puntos de corte con los ejes).

3. Clasificación.

4. Simetría o Paridad.

5. Estudio de la Continuidad.

6. Cálculo de Asíntotas.

7. Extremos relativos: Máximos o mínimos.

8. Curvatura: puntos de inflexión.

9.Estudio de la Concavidad
10. Gráfica.

¿Qué es una Función?.- Conceptos Básicos.-