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ENCUESTA!!!

Resumen de la Unidad.-

TRABAJO PRÁCTICO A.C. de una FUNCIÓN!.-

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Paso 9: Estudio de la Concavidad.-

Si f y f' son derivables en a, la función es:

Convexa

Si f''(a) < 0

Cóncava

Si f''(a) > 0

Criterio de concavidad y convexidad

Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x₁ y x₂, el segmento que une los puntos (x₁, f(x₁)) y (x₂, f(x₂)) siempre queda por debajo de la gráfica.

Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x₁ y x₂, el segmento que une los puntos (x₁, f(x₁)) y (x₂, f(x₂)) siempre queda por encima de la gráfica.

Intervalos de concavidad y convexidad

Para calcular los intervalos la concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes pasos:

 1)  Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

 2)  Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

 3)  Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

Si f''(x) < 0 es convexa.

Si f''(x) > 0 es cóncava.

 4)  Escribimos los intervalos

Paso 8: Curvatura: Puntos de inflexión.

Si f y f' son derivables en a, a es un:

Punto de inflexión: HAY UN CAMBIO DE CONCAVIDAD EN LA FUNCIÓN. 

Si f'' = 0

y  f''' ≠ 0

Cálculo de los puntos de inflexión

Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:

 1) Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

 2) Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

 3) Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

Ejemplo:

1. Hallar los puntos de inflexión de:

f(x) = x3 − 3x + 2

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.

f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2)

Paso 7: Puntos Críticos: Máximos y Mínimos.-

Máximo y mínimo relativo

·         Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

·        Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

Cálculo de máximos y mínimos (EJEMPLO)

Estudiar los máximos y mínimos de:

f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Paso 6: Cálculo de Asíntotas.-

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asíntotas:

Asíntotas Horizontales:

 

Ejemplo: Calcular las asíntotas horizontales de la función:

Asíntotas verticales:

Ejemplo: Calcular las asíntotas verticales de la función:

Asíntotas oblicuas

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

Para que haya asíntota oblicua se tiene que cumplir que el grado del numerador sea exactamente un grado mayor que el del denominador.

Paso 5: Estudio de la Continuidad.-

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen el punto coincida con el límite de la función en el punto.

Tipos de discontinuidad

1. Discontinuidad evitable

Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe .

Tipos

1. La función no está definida en x = a.

2. La imagen no coincide con el límite.

2. Discontinuidad inevitable

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos.

Tipos

1. Discontinuidad inevitable de salto finito

La diferencia entre los límites laterales es un número real.

2. Discontinuidad inevitable de salto infinito

La diferencia entre los límites laterales es infinito.

3. Discontinuidad esencial

Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a.

Paso 4: Simetría o Paridad.-

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si es una función par, es decir:  f(−x) = f(x)

 Ejemplo

Una función f es simétrica respecto al origen si es una función impar, es decir:

f(−x) = −f(x)

Ejemplo 

Paso 3: Clasificación de las Funciones.-

Paso 2: Intersección con los Ejes Coordenados.-

    Ceros o Raíces: (Intersección con el Eje X):

Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0 y resolvemos la ecuación resultante.

Corte de Ordenada: (Intersección con el Eje Y):

Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).

 Ejemplo:

Hallar los puntos de corte con los ejes de la función:

Paso 1: Dominio y Recorrido de f(x)

Dominio de una función: Es un subconjunto del conjunto de partida,
conformado por las primeras componentes de los pares ordenados que
satisfacen una relación.
Por ejemplo:
Sean:
 A={1;2;3;4;5}
 B={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}
f :A B f={(x,y)/y=x+2}
los pares ordenados que satisfacen dicha relación son :
f={(1;3),(2;4),(3;5),(4;6),(5;7)}
Df={1;2;3;4;5}

Recorrido de una función: es un subconjunto del conjunto de llagada conformado
por las segundas componentes de los pares ordenados que integran la relación.
Por ejemplo:
A {1; 2; 3; 4; 5} Conjunto de partida
B {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Conjunto te llegada
 Estableciendo la relación “f”:
 f: A ----> B f:{(x; y)/y = x + 2}

•  Los pares ordenados que satisfacen la relación son: 

f: { (1;3), (2;4), (3;5), (4;6), (5;7)}

•  El Recorrido de la Relacion es: 

Rf:{3; 4; 5; 6; 7}

•  Para encontrar el recorrido de una función, primero debemos encontrar la función inversa de esta recordando que:

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f⁻¹) (x) = (f⁻¹ o f) (x) = x

Pasos a seguir para el Análisis completo y representación de una Función :

1. Hallar el Dominio y el Recorrido de la función.

2. Intersección con los ejes (Puntos de corte con los ejes).

3. Clasificación.

4. Simetría o Paridad.

5. Estudio de la Continuidad.

6. Cálculo de Asíntotas.

7. Extremos relativos: Máximos o mínimos.

8. Curvatura: puntos de inflexión.

9.Estudio de la Concavidad
10. Gráfica.

¿Qué es una Función?.- Conceptos Básicos.-

Análisis Completo de una Función.-

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