viernes, 20 de junio de 2014
Paso 9: Estudio de la Concavidad.-
Si f y f' son
derivables en a, la función es:
Convexa
Si f''(a)
< 0
Cóncava
Si f''(a)
> 0
Criterio de
concavidad y convexidad
Una función es cóncava en un intervalo de su dominio
cuando:
Dados
dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une
los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2))
siempre queda por debajo de la gráfica.
Una función es convexa en un intervalo de su dominio
cuando:
Dados
dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une
los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2))
siempre queda por encima de la gráfica.
Intervalos
de concavidad y convexidad
Para calcular los intervalos la
concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes pasos:
1) Hallamos la derivada
segunda y calculamos sus raíces.
2) Formamos intervalos
abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de
discontinuidad (si los hubiese).
3) Tomamos un valor de
cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.
Si f''(x) < 0 es convexa.
Si f''(x) > 0 es cóncava.
4) Escribimos los
intervalos
Paso 8: Curvatura: Puntos de inflexión.
Si f y f' son
derivables en a, a es un:
Punto de inflexión: HAY UN CAMBIO DE CONCAVIDAD EN LA FUNCIÓN.
Si f''
= 0
y f'''
≠ 0
Cálculo de
los puntos de inflexión
Para hallar los puntos de
inflexión, seguiremos los siguientes pasos:
1) Hallamos la derivada
segunda y calculamos sus raíces.
2) Realizamos la derivada tercera,
y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:
f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.
3) Calculamos la imagen (en la
función) del punto de inflexión.
Ejemplo:
1. Hallar los puntos de inflexión
de:
f(x) = x3 − 3x + 2
f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.
f'''(x) = 6 Será un punto de
inflexión.
f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2
Punto de inflexión: (0, 2)
Paso 7: Puntos Críticos: Máximos y Mínimos.-
Máximo y mínimo
relativo
·
Una
función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual
que los puntos próximos al punto a.
·
Una
función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual
que los puntos próximos al punto b.
Cálculo
de máximos y mínimos (EJEMPLO)
Estudiar los máximos y mínimos de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar sus extremos locales,
seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada primera y
calculamos sus raíces.
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y
calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la
función) de los extremos relativos.
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
Paso 6: Cálculo de Asíntotas.-
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va
acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asíntotas:
Asíntotas Horizontales:
Ejemplo: Calcular las asíntotas horizontales de la función:
Asíntotas
verticales:
Ejemplo: Calcular las
asíntotas verticales de la función:
Asíntotas
oblicuas
Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas
cuando no haya asíntotas horizontales.
Para que haya asíntota oblicua se tiene
que cumplir que el grado del numerador sea exactamente un grado mayor que el
del denominador.
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